اعداد خوشحال چه اعدادی هستند

اعداد خوشحال عدد صحیح مثبتی را در نظر بگیرید و مجموع مربعات ارقام آن را به عنوان عدد بعدی بنویسید. این کار را ادامه دهید. در صورتیکه این رویه به عدد یک ختم شود عدد اصلی شما یک عدد خوشحال (happy number)‏ نامیده می‌شود در غیر این صورت آن عدد یک عدد غیرخوشحال (unhappy number یا sad number)‏ می‌باشد.

به طور مثال: در مورد عدد ۷ داریم:

پس عدد ۷ یک عدد خوشحال است.

و در مورد عدد ۴ داریم:

۴^۲ = ۱۶

۱^۲ + ۶^۲ = ۳۷

۳^۲ + ۷^۲ = ۵۸

۵^۲ + ۸^۲ = ۸۹

۸^۲ + ۹^۲ = ۱۴۵

۱^۲ + ۴^۲ + ۵^۲ = ۴۲

۴^۲ + ۲^۲ = ۲۰

۲^۲ + ۰^۲ = ۴

پس عدد ۴ یک عدد غیر خوشحال است.

عدد معلوم n=n₀ را در نظر بگیرید. توالی از اعداد n₁ ,n₂, n₃ و… را در نظر بگیرید به طوریکه n_i+1 مجموع مربعات ارقام n_i باشد. آنگاه n یک عدد خوشحال است اگر و تنها اگر وجود داشته باشد i ای که ۱=n_i.

اگر یک عدد خوشحال باشد تمام اعضای توالی آن نیز خوشحال خواهند بود و اگر عددی غیرخوشحال باشد تمام اعداد توالی آن نیز غیر خوشحال خواهند بود. ۷ یک عدد خوشحال است پس اعداد حاصل از آن در توالی اعداد هم خوشحال هستند.