انواع اتحادها در ریاضی
اتحادهای جبری
اتحاد (Identity) یک گزاره ریاضی همواره صادق است که معمولاً برای ساده‌سازی فعالیت های جبری در ریاضی بکار می‌رود. تعریف دیگری از اتحاد به صورت زیر است: معادله ای که به ازای هر عدد حقیقی برقرار باشد اتحاد نامیده می شود.
اتحاد (Identity) یک گزاره ریاضی همواره صادق است که معمولاً برای ساده‌سازی فعالیت های جبری در ریاضی بکار می‌رود. تعریف دیگری از اتحاد به صورت زیر است: معادله ای که به ازای هر عدد حقیقی برقرار باشد اتحاد نامیده می شود.
کاربردهای اتحادهای ریاضی:
— ساده‌سازی محاسبات اعدادی مانند ۱۰۱۲
— تجزیه عبارات گویا که خود در ب.م.م گیری و ک.م.م گیری کاربرد دارد.
— تجزیه عبارات گویا برای حل معادلات درجه دو و سه و بیشتر کاربرد دارد.
— تجزیه عبارات گویا که خود در ب.م.م گیری و ک.م.م گیری کاربرد دارد.
— تجزیه عبارات گویا برای حل معادلات درجه دو و سه و بیشتر کاربرد دارد.
انواع اتحاد:
اتحادها بسیار زیاد هستند اما چند اتحاد اصلی که پایهٔ اتحادهای دیگر هستند بدین قرارند:
:: اتحاد مربع دو جمله ای:
— اتحاد مربع مجموع دو جمله:
(a+b)2=a2+b2+2ab
— اتحاد مربع تفاضل دو جمله:
(a−b)2=a2+b2−۲ab
___________________________________________________________________
:: اتحاد مربع سه جمله‌ای:
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
— تعمیم اتحاد مربع چند جمله:
(a1+a2+a3+…+an)2=
a12+a22+a32+ …+an2 + (۲a1a2+2a1a3+2a1a4+…+2a1an) + (۲a2a3+2a2a4+…+2a2an) + … + ۲an-1an
___________________________________________________________________
:: اتحاد مکعب مجموع دو جمله:
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
___________________________________________________________________
:: اتحداد مزدوج:
(a−b)(a+b)=a2−b2
___________________________________________________________________
:: اتحاد جمله مشترک:
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
— تعمیم اتحاد جمله مشترک:
(x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x+abc
(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=x4+(a+b+c+d)x3+(ab+ac+ad+bc+bd+cd)x2+(abc+abd+acd+bcd)x+abcd
___________________________________________________________________
:: اتحاد مجموع و تفاضل مکعبات دو جمله (اتحاد چاق و لاغر):
— اتحاد مجموع مکعبات دو جمله:
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
— اتحاد تفاضل مکعبات دو جمله:
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
— تعمیم اتحاد مجموع مکعبات دو جمله (n، عدد طبیعی فرد)
an+bn=(a+b)(an−۱ − an−۲b + an−۳b2 − … + bn−۱)
— نتیجه:
an+1=(a+1)(an−۱ − an−۲ + an−۳ − … + ۱)
— تعمیم اتحاد تفاضل مکعبات دو جمله (n، عدد طبیعی)
an−bn=(a−b)(an−۱ + an−۲b + an−۳b2 + … + bn−۱)
— نتیجه:
an−۱=(a−۱)(an−۱ + an−۲ + an−۳ + … + ۱)
___________________________________________________________________
:: اتحاد اویلر:
(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−ac−bc)=a3+b3+c3−۳abc
½(a+b+c)[(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2)]=a3+b3+c3−۳abc
— نتیجه:
اگر a+b+c=0 آنگاه a3+b3+c3=3abc
اگر a=b=c آنگاه a3+b3+c3=3abc
___________________________________________________________________
:: اتحاد لاگرانژ:
(a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2+(ay−bx)2
___________________________________________________________________
:: اتحاد بسط دو جمله ای نيوتن:
