تأثیر ریاضیات بر شناخت بهتر مواد

جایزه نوبل امسال را می‌توان مهر تأیید دیگری در امتداد سایر دستاوردهای فیزیک جدید بر عینیت دست‌کم برخی حوزه‌های ریاضیات محض تلقی کرد. هرچند شاید هیچ‌گاه نتوان دریافت تا کجا می‌توان از تمهیدات ریاضیات محض برای تدوین فرضیات فیزیکی بهره جست، اما قدر مسلم‌ آنکه تا وقتی امکان اثبات تجربی این فرضیات وجود دارد، نباید حتی مسئله‌ای به سادگی هفت پل کونیگسبرگ را هم چیزی نامرتبط با جهان عینی و خالی از دلالت‌هایی به زوایای ناپیدای آن تلقی کرد.

بنابر تصمیم آکادمی سلطنتی علوم سوئد، نیمی از جایزه نوبل فیزیک امسال به «دیوید تولس»^۱ از دانشگاه واشنگتن و نیم دیگر آن نیز مشترکا به «دونکان هالدین»^۲ از دانشگاه پرینستون و «مایکل کاسترلیتز»^۳ از دانشگاه براون، به پاس «کشفیات نظری‌شان مبنی‌بر وجود تغییر حالت‌های توپولوژیکی و حالت‌های توپولوژیکی ماده» تعلق یافت؛ مفاهیم نامأنوسی که کمتر کسی حتی نامشان را در خارج از دنیای فیزیک شنیده است. در این مقاله می‌کوشم تا اهمیت دستاوردی را که نوبل فیزیک امسال به آن اهدا شد، در پرتو آن چشم‌اندازی که با کشف «حالت‌های توپولوژیک ماده» در برابر جامعه فیزیک و توسعا واقعیت فیزیکی گشوده شد، بیان کنم.

ورود به قلمرو بزرگ‌مقیاس
نظریه کوانتوم پیامدهای بسیار شگفت‌انگیزی دارد که با تجربه‌های ما از زندگی روزمره سازگار نیست. مثلا به پدیده‌ای موسوم به «درهم‌تنیدگی کوانتومی» (quantum entanglement) توجه کنید: اگر در جریان یک فرایند فیزیکی، یک جفت‌ ذره تولید بشوند، برخی خصوصیات این دو ذره، مثلا قطبشان یا بار الکتریکی‌شان، ضرورتا مخالف دیگری خواهد بود (مثلا اگر بار الکتریکی یکی از این ذرات مثبت باشد، بار آن‌یکی، ضرورتا منفی است)، اما مادامی که محاسبه‌ای روی هیچ‌کدام از این ذرات صورت نپذیرفته، تعیین اینکه کدامشان از چه خصوصیتی برخوردار است، ممکن نیست. ضمنا برای پی‌بردن به این دسته از خصوصیات این دو ذره، کافی‌ است که فقط ویژگی‌های یکی از آن دو ذره را محاسبه کنیم، چراکه خصوصیات ذره دیگر قاعدتا مخالف آن چیزی که به دست آورده‌ایم، خواهد بود.

اگرچه در نگاه اول این‌طور به نظر می‌رسد که خصوصیات مدنظر، تا پیش از انجام محاسبه عملا در ذرات وجود دارند و صرفا این ماییم که از آنها نامطلعیم، اما طبق سرراست‌ترین تعبیر از ریاضیات نظریه نوین کوانتوم، این «محاسبه» است که تعیین می‌کند آن ذرات چه خصوصیتی داشته باشند. این به این معناست که چنانچه مثلا بار الکتریکی ذره A منفی به دست بیاید، معنی آن این نخواهد بود که ما در آن واحد مثبت‌بودن بار ذره B را «دانسته‌ایم»، بلکه به این‌معناست که در آن واحد، ذره B بار مثبت را «کسب کرده است».

نزدیک‌ترین تعبیری هم که در چارچوب فیزیک موجود می‌توان برای یک «آنِ واحد» یافت، سرعت نور است؛ به‌طوری‌که هیچ تأثیری قادر نیست یک مسافت معین را با سرعتی بیش از سرعت نور بپیماید، اما درخصوص جفت‌ذرات نام‌برده، آزمایش‌های فزاینده‌ای از اواخر دهه ١٩٧٠ تاکنون حکایت از آن داشته که صرف‌نظر از میزان مسافت مابین جفت ذرات، تأثیر محاسبه در «آن واحد» بر ذره دیگر رقم خواهد خورد؛ یعنی حتی سریع‌تر از سرعت نور. ازهمین‌رو‌ هم این‌چنین ذراتی را به‌اصطلاح ذرات «درهم‌تنیده» (entangled) می‌نامند.

پدیده درهم‌تنیدگی کوانتومی تاکنون موثق‌ترین معیار برای تعیین محدوده تأثیر قوانین نظریه نوین کوانتوم بوده است، چراکه با افزایش‌دادن فاصله بین ذرات درهم‌تنیده (یا افزودن بر تعداد آنها) می‌توان رفته‌رفته مقیاس‌های جهان میکروسکوپیک را پشت‌سر گذاشت و دید که این پدیده‌ها تا کجا به شگفت‌زدگی فیزیک‌دانان ادامه می‌دهند. امروزه طولانی‌ترین رکورد تأثیر بلاواسطه ذرات در جریان پدیده درهم‌تنیدگی کوانتومی، عدد سرسام‌آور ١٤٣ کیلومتر است؛ یعنی قوانین کوانتومی حتی در چنین فاصله‌ای هم برقرار هستند. بنابراین گرچه در این تردیدی نیست که گستره تأثیرات کوانتومی را تا حتی جهان بزرگ‌مقیاس هم می‌توان پی گرفت، اما قاعدتا این گستره باید بسیار فراتر از تأثیر تنها دو ذره خاص بر یکدیگر باشد. این موضوع، به‌ویژه با کشف پدیده‌های گیج‌کننده‌ای همچون «ابرسیالیت» (superfluididty) و «ابررسانایی» (superconductivity)، به‌ترتیب در اوایل دهه ١٩١٠ و اواخر دهه ١٩٣٠، دیگر معمایی نیست که حتی به قلمرو فیزیک اتمی هم محدود بماند.

در دماهای نزدیک به صفر مطلق (معادل منفی ٢٧٣ درجه سانتی‌گراد)، ماده (صرف‌نظر از جنس و ابعاد آن) به حالت‌هایی درمی‌آید که نه‌فقط در قالب‌های سنتی گاز/ مایع/ جامد، بلکه اساسا در قالب فهم فیزیک‌دانان نمی‌گنجد.

به‌عنوان نمونه، یک سیم ابررسانا اساسا فاقد مقاومت الکتریکی است، اما مادامی ‌که دمای آن بالاتر می‌رود، ابررسانایی خود را به‌یکباره از دست خواهد داد، اما چنانچه همین ماده را به‌جای یک سیم به شکل یک «ورقه» درآوریم، با بالاتررفتن دمای آن، ابررسانایی‌اش نه به شکلی یک‌باره، بلکه به طریقی پله‌به‌پله و موضعی از دست می‌رود، به‌طوری‌که تحت برخی شرایط، قسمت‌هایی از آن ورقه هنوز ابررسانا هستند، حال‌آنکه دیگر قسمت‌های آن چنین نیستند یا مثلا «اثر هال» را مدنظر بگیرید: «ادوین هال»، فیزیک‌دان آمریکایی، در سال ١٨٧٩ پی برد که اگر جریانی از الکتریسیته را از دو ضلع یک ورقه فلزی (مثلا از بالا به پایین آن) بگذرانیم و سپس آن ورقه را در معرض یک میدان مغناطیسی عمود بر جریان الکتریسیته قرار دهیم، آنگاه این میدان مغناطیسی، الکترون‌های جاری را از مسیر اصلی‌شان در جهت عمود بر جریان و هم‌راستا با میدان مغناطیسی منحرف خواهد کرد. در نتیجه، قدری از ولتاژ القایی کاسته می‌شود. از این تغییر ولتاژ (موسوم به «ولتاژ هال») می‌توان مثلا برای ساخت حسگرهایی جهت تعیین شدت میدان‌های مغناطیسی بهره جست، اما «کلاوس فون‌کلیتسینگ»، فیزیک‌دان آلمانی، در سال ١٩٨٠ اثر هال را یک گام پیش‌تر برد:

اگر ورقه فلزی را با ورقه‌ای به ضخامت تنها یک اتم جایگزین کنیم و دمای آن را هم تا نزدیکی صفر مطلق کاهش دهیم، آنگاه با اِعمال میدان مغناطیسی مذکور، اتفاق منحصربه‌فردی (موسوم به «اثر هال کوانتومی») رقم خواهد خورد: میزان ولتاژ عبوری از ورقه، همواره مقداری یکسان و دقیق است و به مجرد تغییر شدت میدان مغناطیسی، ولتاژ هال هم نه به‌طور پیوسته، بلکه به نحوی گسسته و با حفظ یک نسبت ثابت دچار تغییر خواهد شد و اینها همه صرف‌نظر از جنس آن ورقه رقم خواهد خورد. یعنی این‌طور به نظر می‌رسد که تحت چنین شرایطی، اساسا «ماده» دچار تغییرات مذکور می‌شود.

اگرچه کشف پدیده هال کوانتومی جایزه نوبل فیزیک ١٩٨٥ را برای «کلاوس فون‌کلیتسینگ» به ارمغان آورد، اما تا مدت‌ها دست فیزیک‌دانان از هرگونه توضیح متقاعدکننده‌ای برای این پدیده خالی بود. به نظر می‌رسید ریاضیات کلاسیک که در قرن گذشته همانند نورافکنی، مسیر پیش‌پای فیزیک اتمی را روشن می‌کرد تا گام‌های بلندی بردارد، هم‌اینک این شاخه را در پشت مرزهای فیزیک حالت جامد تنها گذاشته بود و حال برای ورود به این حوزه، نیاز به یک ریاضیات کاملا متفاوت حس می‌شد، ریاضیاتی که بتواند رفتار ماده را نه بر حسب «ذرات» تشکیل‌دهنده آن، بلکه بر حسب «چیدمان» کلی آن ذرات توصیف و پیش‌بینی کند. در آن مقطع، بالغ بر ٢٥٠ سال از پیدایش چنین ریاضیاتی می‌گذشت، بی‌آنکه در این مدت هیچ احتیاجی به آن در ساحت فیزیک احساس شود. حال، این احتیاج احساس شده بود، احتیاج به یک منظر «توپولوژیک».

منظر توپولوژیک: سوغاتی از کونیگسبرگ
ماجرای تدوین شاخه توپولوژی، ما را به سیاحت شهر روسی «کالینینگراد» خواهد برد؛ شهری که در قرن هجدهم جزء متعلقات پروس بود و با نام کونیگسبرگ شناخته می‌شد. این شهر به واسطه مسیر رودخانه پرگل، به چهار خشکی مجزا تقسیم شده است که در آن دوران با هفت پل به یکدیگر متصل شده بودند. پیاده‌روی‌‌های معمول یکشنبه‌های اهالی کونیگسبرگ در سطح شهر و عبور پیاپی‌شان از این پل‌ها، امروزه برای توجیه این سؤال ساده و پرتکرار آن موقع‌شان کافی می‌نماید که: آیا می‌توان مسیری را مشخص کرد که در جریان آن، از طریق هر هفت پل، از هر چهار خشکی شهر عبور کرد و درعین‌حال هم بیش از یک‌ بار از آن پل‌ها نگذشت؟

در آن مقطع، این موضوع توجه «کارل گوتلیب اِهلر»، شهردار شهر دانزیگ در همسایگی کونیگسبرگ را جلب کرد. او توانست با میانجی‌گری دوست ریاضی‌دانش، هینریش کوون، مکاتباتی را دراین‌باره با «لئونارد اویلر»، از برجسته‌ترین ریاضی‌دانان زمان که در سن‌پترزبورگ روسیه می‌زیست، آغاز کند. «اهلر» در سنین جوانی خود سخت تحت‌تأثیر فلسفه «گوتفرید لایب‌نیتس»، فیلسوف و ریاضی‌دان برجسته آلمانی (و همین‌طور خلفش «کریستین وولف») بود و کوشید به همین بهانه، توجه «اویلر» را به بحث «حساب مکانِ» «لایب‌نیتس» جلب کند. اما «اویلر» ابتدا از حل مسئله سر باز زد و در نامه‌ای به تاریخ آوریل ١٧٣٦ برای «کوون» و «اهلر» نوشت: «…سرور عزیزم، می‌بینید که راه‌حل [این مسئله] چندان ربطی به ریاضیات ندارد و نمی‌فهمم چرا به جای هر شخص دیگری، از یک ریاضی‌دان انتظار دارید که به آن دست پیدا کند چراکه این راه‌حل [فقط] بر عقل صِرف مبتنی است و کشف آن به هیچ اصل ریاضیاتی‌ای بستگی ندارد… . در ضمن، سرور عزیزم، جناب‌عالی این سؤال را به هندسه مکان حوالت داده‌اید اما من نمی‌دانم که این رشته نوظهور به چه مربوط می‌شود و «لایب‌نیتس» و «وولف» انتظار حل چه مسائلی را از طریق آن داشته‌اند».

اما اصرار «کوون» و «اهلر» مبنی بر اینکه حل مسئله هفت پل کونیگسبرگ، نهایتا به ظهور شاخه‌ای جدید از ریاضیات خواهد انجامید، «اویلر» را به تأمل بیشتری در این مسئله ترغیب کرد و سرانجام او متوجه شد که گرچه این مسئله ذاتا یک مسئله‌ هندسی است، اما از یک لحاظ با مسائل متعارف هندسه اقلیدسی تفاوت دارد: اینکه در آن، از «مسافت‌»ها صرف‌نظر می‌شود. مهم نیست که ابعاد آن چهار خشکی یا طول آن هفت پل چقدر باشد، مهم نحوه اتصال آنها به یکدیگر است. پس ابتدا باید صورت‌مسئله را از مؤلفه‌های مربوط به مسافت زدود؛ اقدامی که گرچه تا آن مقطع در بین ریاضی‌دانان سابقه‌ای نداشت، اما «لایب‌نیتس» نیم‌قرن پیش‌تر از آن، به امکان‌پذیری‌اش اشاره کرده بود. ازهمین‌رو «اویلر» در مقاله‌ای مربوط به همان سال و راجع به همین مسئله، می‌نویسد: «…افزون بر آن شاخه‌ای از هندسه که با مسافت‌ها سروکار دارد و همیشه هم مورد عنایت [ریاضی‌دانان] بوده، شاخه‌ سابقا ناشناخته دیگری هم وجود دارد که نخست «لایب‌نیتس» به وجودش اشاره داشته و از آن تحت عنوان هندسه مکان یاد کرده است. این شاخه… نه ربطی به مسافت دارد و نه در محاسباتش از آن استفاده می‌شود. هنوز به طرز مشخصی معلوم نیست که چه‌نوع مسئله‌هایی به این هندسه مکان ربط پیدا می‌کنند یا باید از چه راهکارهایی برای حلشان اقدام کرد».

حدود یک قرن بعد، ترجمه یونانی اصطلاح «هندسه مکانِ» لایب‌نیتس (به آلمانی Geometriam situs) بر عنوان رساله سال ١٨٤٧ «یوهان بندیکت لیستینگ» ریاضی‌دان آلمانی، نشست: توپولوژی و شش سال بعد هم در مقاله‌ای از نشریه علمی نیچر، رسما از این اصطلاح به‌منظور تمییزدادن «هندسه کیفی از هندسه متعارف که مناسبات کمی بر آن حکمفرماست»، استفاده شد. «اویلر» از طریق این هندسه ثابت کرد که نمی‌توان در یک راهپیمایی واحد، از طریق فقط یک‌ بار گذشتن از هر هفت پل کونیگسبرگ، از هر چهار خشکی آن عبور کرد. تحت هر شرایطی، از دست‌کم یک‌ پل باید دو بار گذشت. او برای اثبات استدلال خود، تمام مؤلفه‌های مسئله را به هفت رشته (به نمایندگی از هفت پل) و چهار گره (به نمایندگی از چهار خشکی) ساده کرد و به نموداري كه در انتهاي مطلب مي‌بينيد رسید؛ نموداری که امروزه از آن تحت عنوان یک «گراف» یاد می‌شود.

تنها مؤلفه‌ای که در این نمودار اهمیت دارد، اتصالات آن است، به‌طوری‌که موقعیت گره‌ها و همچنین طول و شکل رشته‌ها در این بین هیچ تأثیری بر اصل مسئله نخواهد داشت. به عبارت دیگر، نمودار روبه‌رو را می‌توان به بی‌نهایت حالت دیگر هم ترسیم کرد و از منظر توپولوژیک کماکان یک شکل واحد داشت. چنانچه بخواهیم از هر چهار خشکی با عبور یکباره از هر هفت پل بگذریم، طبق نمودار فوق باید تعداد رشته‌های عبوری از هر گره (یا به عبارت امروزی، «درجه گره») عددی زوج باشد (نیمی از آنها برای ورود به خشکی و نیمی از آنها هم برای خروج از آن). این در حالی است که درجات هر چهار گره در گراف فوق، عددی فرد است و از آنجا که در یک مسیر پیاده‌روی، درنهایت دو گره در نقش نقاط شروع و پایانِ مسیر ظاهر می‌شوند، گزاره «عبور از هر چهار خشکی از طریق عبور یک‌باره از هر هفت پل»، در واقع یک گزاره‌ متناقض است و چنین چیزی ممکن نیست.

به عبارت امروزی‌تر، «اویلر» نشان داد شرط ضروری امکان چنین راهپیمایی‌ای این است که گراف ما دقیقا صفر یا دو گره با درجه فرد داشته باشد، حال‌ آنکه عملا چهار گره با درجه فرد دارد.

مسئله هفت پل کونیگسبرگ از این لحاظ اغواکننده است که پیچیدگی ظاهری‌‌اش ما را اشتباها به این تصور وامی‌دارد که «شاید» بتوان از طریق آزمون و خطا به مسیر مطلوب دست پیدا کرد و توپولوژی، راهی برای زدودن همین پیچیدگی‌های گمراه‌کننده است، چراکه از منظر توپولوژیک، همه مسیرهای ممکن راهپیمایی‌ که از هر چهار خشکی و هر هفت پل بگذرد، مسیرهایی اصطلاحا «هم‌ریخت» (homomorphic) هستند و به همین‌واسطه هیچ‌کدام‌شان قادر به برآوردن شرط صورت‌مسئله نخواهند بود؛ برای مثال حروف هم‌ریخت الفبای انگلیسی را می‌توان بر حسب تعداد «حفره»ها و «دُم»هایشان در این دسته‌ها جا داد:

١- R، A (یک حفره، دو دم)
٢- Z، W، V، U، S، N، M، L، J، I، G (یک دم)
٣- O، D (یک حفره)
٤- Y، T، F، E (سه دم)
٥- X، K، H (چهار دم)
٦- Q، P (یک حفره، یک دم)

برای نمونه، حروف A و R را می‌توان صرفا با خم‌کردن خطوط‌شان به یکدیگر تبدیل کرد. حروف D و O را هم به همین ترتیب؛ اما نمی‌توان با صِرف خم‌کردن حرف A، آن را به شکل حرف O درآورد؛ چنین کاری مستلزم برش دادن و چسباندن بخش‌هایی از حرف A است؛ هنگامی که برای تغییر شکل دو چیز، احتیاجی به برش‌دادن یا چسباندن اجزای‌ آنها نباشد، آن دو چیز از حیث توپولوژیک هم‌ریخت هستند؛ یعنی از منظر توپولوژیک، الفبای انگلیسی شش حرف بیشتر ندارد.

ویژگی منحصربه‌فرد تمام توصیفات توپولوژیک این است که می‌توان هر پدیدار هندسی‌ تک‌بُعدی، دوبعدی یا سه‌بعدی (اعم از خطوط، اشکال و سطوح) را بر حسب مفاهیمی نظیر همین حفره‌ها و دم‌ها تعریف کرد. می‌دانیم که مثلا تعداد حفره‌های یک شکل فقط می‌تواند عددی صحیح و غیراعشاری اختیار کند؛ برای مثال ممکن نیست یک شکل، از ١,٥ حفره تشکیل شده باشد.

درباره سطوح سه‌بعدی هم منحنی‌ها (یا به عبارت دقیق‌تر «رویه»ها) را می‌توان بر حسب بُرشی از سطح خارجی یک شکل فرضی nحفره‌ای تصور کرد. (چنین شکلی اصطلاحا «رویه انتقالی» نام دارد)؛ در واقع آن دستاوردی که مدال معتبر فیلدز را در سال ٢٠١٤ برای «مریم میرزاخانی» به ارمغان آورد، ارائه رهیافتی بود که بتوان از طریق آن هر سطحی با انحنای منفی (موسوم به سطوح هذلولی) را بر حسب قطاعی از سطح خارجی یک رویه انتقالی nحفره‌ای به دست آورد، دستاوردی که صورت‌بندی آن برای «مریم میرزاخانی» ٩ سال تمام به طول انجامید.

از آنجا که برخی رفتارهای بزرگ‌مقیاس کوانتومی (اعم از ابَرسیالیت، ابررسانایی و اثر هال کوانتومی) فقط در شرایط هندسی خاصی (نظیر سطوح دوبعدی) پدیدار می‌شوند و تغییراتی پله‌به‌پله (و نه پیوسته) را به نمایش می‌گذارند، به نظر می‌رسد بتوان مؤلفه‌های پدیدآورنده‌شان را هم بر حسب توصیفات توپولوژیک درک کرد.

برای نمونه، برای درک اینکه چرا هرکدام از حروف انگلیسی به یکی از دسته‌های یادشده تعلق گرفته، باید به شکل کلی آن حرف نگریست، نه صرفا به بخشی از آن حرف، به‌طوری‌که این تقسیم‌بندی، فقط از یک منظر کل‌گرایانه، صائب خواهد بود. در واقع توپولوژی، زمینه را برای تعریف یک ملاک عینی برای تميیزبخشیدن مناظر «کلی» ماده (که مبنای توصیفات شاخه فیزیک حالت جامد است)، از مناظر جزئی‌نگر (که مبنای توصیفات شاخه فیزیک اتمی است)، فراهم کرد و از آنجا که تحولات گیج‌کننده‌ای که در دماهای نزدیک به صفر مطلق در ساختار ماده دیده شده نیز تابعی از هندسه کلی اجتماعات اتمی است، نه خصوصیات تک‌تک اتم‌ها، به نظر می‌رسد اطلاق توصیفات توپولوژیک بر آنها رهیافت موجهی باشد.

البته در وهله اول، اطلاق این توصیفات صرفا راهی برای «توجیه» مشاهدات موجود بود؛ اما آنچه امسال شایسته دریافت جایزه نوبل فیزیک شناخته شد، عمدتا به «پیش‌بینی» و سپس تأیید وجود حالت‌های کاملا تازه‌ای از ماده بر مبنای همین توجیهات برمی‌گشت: حالت‌های توپولوژیکی ماده.

توپولوژی و چشم‌اندازهای تازه‌ای فراروی رفتار ماده
تا اوایل دهه ٧٠ میلادی، تصور غالب فیزیک‌دانان این بود که افت‌وخیزهای گرمایی، مانع از برقراری هرگونه نظمی در بین اتم‌های یک سطح دوبعدی می‌شوند، حتی در دماهای نزدیک به صفر مطلق. در غیاب هیچ‌گونه نظمی هم عملا وقوع هر «تغییر حالتی» در ماده بی‌معناست (برای مثال تغییر حالت جامد به مایع و سپس از مایع به گاز را می‌توان فقط در گرو الگوهای متفاوت اتم‌ها ذیل این سه حالت که هر سه نیز نظم مختص خودشان را دارند، تصور کرد).

بااین‌همه در آن مقطع، «دیوید تولس» و «مایکل کاسترلیتز» به صورت مشترک تصمیم گرفتند این فرضیه را آزمایش کنند، این تصمیم در آن شرایط، جز کنجکاوی محض دو فیزیک‌دان توجیهی نداشت. از قرار معلوم، آنها برخلاف فرض غالب فیزیک‌دانان، متوجه تغییراتی در حالت و الگوی سیالیت موادی با شکل‌های خاص هندسی (مانند ورقه‌های دوبعدی، یا رشته‌های تک‌بعدی از اتم‌ها) در دماهای نزدیک به صفر مطلق شدند. این دو فیزیک‌دان با بررسی‌های پیگیر خود دریافتند فقط از منظر توپولوژیک می‌توان توصیفی قابل فهم از این تغییرات عرضه کرد. این تغییرات که امروزه با عنوان «گذار کاسترلیتز-تولس» (KT Transition) شناخته می‌شوند، از جمله برجسته‌ترین کشفیات فیزیک حالت جامد در قرن بیستم به شمار می‌روند.

کمتر از یک دهه بعد، «تولس» تحقیقات خود را از حوزه ابرسیالیت به حوزه ابررسانایی بسط داد و با همکاری «دونکان هالدین»، توانست ضرورت اطلاق مفاهیم توپولوژیکی بر این حوزه از فیزیکِ حالت جامد را نیز نشان دهد و به یمن همین چشم‌انداز، توانست در سال ١٩٨٨ مشخص کند که می‌توان از طریق اثری هم‌ارز اثر هال کوانتومی، حتی در غیاب یک میدان مغناطیسی هم لایه‌های نازک نیمه‌رساناها را به ابرسیال‌هایی توپولوژیکی بدل کرد. این پیش‌بینی‌ در سال ٢٠١٤ به روش تجربی اثبات شد.

از آن پس، پیش‌بینی‌های مشابهی راجع به دیگر حالت‌های توپولوژیک ماده (اعم از سطوح سه‌بُعدی) هم مطرح شد و به تأیید تجربی رسیده است، که از برجسته‌ترین‌شان می‌توان به «عایق‌های توپولوژیک»، «فلزات توپولوژیک» و «ابررساناهای توپولوژیک» اشاره کرد. امروزه امیدها به مصارف عَملی این مواد، خاصه در صورت‌بندی نسل نوین سامانه‌های الکترونیک و رایانه‌های کوانتومی، بسیار بالاست.

۱٫ David Thouless

۲٫ Duncan Haldane

۳٫ Michael Kosterlitz