تابع شمارش اعداد اول
در ریاضیات تابع شمارش اعداد اول (Prime-counting function) تابعی است که برای شمارش تعداد اعداد اول کوچکتر یا مساوی عدد حقیقی x آن را با نماد (π(x نمایش می‌دهند. (توجه کنید، این تابع ربطی به عدد مشهور π ندارد.)
تاریخچه
در قرن ۱۸ گاوس و لژاندر۱ توانستند تقریب دقیق را برای تعداد اعداد اول به دست آورند که بعدها این تقریب به ‘نظریه اعداد اول’ ۲ مشهور شد و بر اساس آن ثابت شد که:
با تعریف تابع انتگرال لگاریتم۳ که آن را با نماد 
نمایش می دهند و به صورت زیر تعریف می شود:
ثابت شد که:
نظریه اعداد اول، اولین بار در سال ۱۸۹۶ توسط ژاک آدامار۴ و چارلز ژان پوسین۵ به صورت مستقل به اثبات رسید. آنها از مفاهیم تابع زتای ریمان۶ استفاده کرده بودند. اثبات هایی که در آن از تابع زتای ریمان استفاده نشده بود حوالی سال ۱۹۴۸ توسط اتل سیلبرگ۷ و پل اردوشاثبات گردید.
بررسی تابع:
در زیر چند مقدار ابتدایی (π(n را به ازای n<=60 ملاحظه می کنید:
(توضیح: برای یافتن اعداد اول نه چندان بزرگ، می توان از الگوریتم غربال اراتوستن استفاده نمود)
n π(n)
۱ ۰
۲ ۱
۳ ۲
۴ ۲
۵ ۳
۶ ۳
۷ ۴
۸ ۴
۹ ۴
۱۰ ۴
۱۱ ۵
۱۲ ۵
۱۳ ۶
۱۴ ۶
۱۵ ۶
۱۶ ۶
۱۷ ۷
۱۸ ۷
۱۹ ۸
۲۰ ۸
۲۱ ۸
۲۲ ۸
۲۳ ۹
۲۴ ۹
۲۵ ۹
۲۶ ۹
۲۷ ۹
۲۸ ۹
۲۹ ۱۰
۳۰ ۱۰
۳۱ ۱۱
۳۲ ۱۱
۳۳ ۱۱
۳۴ ۱۱
۳۵ ۱۱
۳۶ ۱۱
۳۷ ۱۲
۳۸ ۱۲
۳۹ ۱۲
۴۰ ۱۲
۴۱ ۱۳
۴۲ ۱۳
۴۳ ۱۴
۴۴ ۱۴
۴۵ ۱۴
۴۶ ۱۴
۴۷ ۱۵
۴۸ ۱۵
۴۹ ۱۵
۵۰ ۱۵
۵۱ ۱۵
۵۲ ۱۵
۵۳ ۱۶
۵۴ ۱۶
۵۵ ۱۶
۵۶ ۱۶
۵۷ ۱۶
۵۸ ۱۶
۵۹ ۱۷
۱ ۰
۲ ۱
۳ ۲
۴ ۲
۵ ۳
۶ ۳
۷ ۴
۸ ۴
۹ ۴
۱۰ ۴
۱۱ ۵
۱۲ ۵
۱۳ ۶
۱۴ ۶
۱۵ ۶
۱۶ ۶
۱۷ ۷
۱۸ ۷
۱۹ ۸
۲۰ ۸
۲۱ ۸
۲۲ ۸
۲۳ ۹
۲۴ ۹
۲۵ ۹
۲۶ ۹
۲۷ ۹
۲۸ ۹
۲۹ ۱۰
۳۰ ۱۰
۳۱ ۱۱
۳۲ ۱۱
۳۳ ۱۱
۳۴ ۱۱
۳۵ ۱۱
۳۶ ۱۱
۳۷ ۱۲
۳۸ ۱۲
۳۹ ۱۲
۴۰ ۱۲
۴۱ ۱۳
۴۲ ۱۳
۴۳ ۱۴
۴۴ ۱۴
۴۵ ۱۴
۴۶ ۱۴
۴۷ ۱۵
۴۸ ۱۵
۴۹ ۱۵
۵۰ ۱۵
۵۱ ۱۵
۵۲ ۱۵
۵۳ ۱۶
۵۴ ۱۶
۵۵ ۱۶
۵۶ ۱۶
۵۷ ۱۶
۵۸ ۱۶
۵۹ ۱۷
۶۰ ۱۷
