تابع چیست و چه کاربردی دارد؟

در ریاضیات، یک تابع رابطه‌ای است که هر متغیر دریافتی خود را به فقط یک خروجی نسبت می‌دهد. علامت استاندارد خروجی یک تابع f به همراه ورودی آن، x می‌باشد یعنی‎ f(x)‏. به مجموعه ورودی‌هایی که یک تابع می‌تواند داشته باشد دامنه و به مجموعه خروجی‌هایی که تابع می‌دهد برد می‌گویند.

برای مثال عبارت f(x) = x2 نشان دهنده یک تابع است، که در آن f مقدار x را دریافت می‌کند و x2 را می‌دهد. در این صورت برای ورودی ۳ مقدار ۹ به دست می‌آید. برای مثال، برای یک مقدار تعریف شده در تابع f می‌توانیم بنویسیم، f(4) = 16.

معمولاً در تمارین ریاضی برای معرفی کردن یک تابع از کلمه f استفاده می‌کنیم و در پاراگراف بعد تعریف تابع یعنی f(x) = 2x+1 را می‌نویسم و سپس f(4) = 9. وقتی که نامی برای تابع نیاز نباشد اغلب از عبارت y=x2 استفاده می‌شود.

وقتی که یک تابع را تعریف می‌کنیم، می‌توانیم خودمان نامی به آن بدهیم، برای مثال:

.

یکی از خواص تابع این است که برای هر مقدار باید یک جواب وجود داشته باشد، برای مثال عبارت:

یک تابع نمی‌باشد، زیرا ممکن است برای یک مقدار دو جواب وجود داشته باشد. جذر عدد ۹ برابر ۳ است و در این رابطه اعداد +۳ و -۳ به دست می‌آیند. برای ساختن یک تابع ریشه دوم، باید فقط یک جواب برای آن وجود داشته باشد، یعنی:

,

که برای هر متغیر غیرمنفی یک جواب غیرمنفی وجود دارد.

در یک تابع لزومی ندارد که حتماً بر روی عدد علمیاتی انجام گیرد. یک مثال که نشان می‌دهد که عملیاتی بر روی عدد انجام نمی‌شود، تابعی است که پایتخت یک کشور را معین می‌کند. مثلاً Capital(France) = Paris.

حال کمی دقیق‌تر می‌شویم اما هنوز از مثال‌های خودمانی استفاده می‌کنیم. A و B دو مجموعه هستند. یک تابع از A به B با به هم پیوستن مقادیر منحصر به فرد درون A معین می‌شود و مجموعه B به دست می‌آید. به مجموعه A دامنه تابع می‌گویند؛ مجموعه B هم تمام مقادیری را که تابع می‌تواند داشته باشد شامل می‌شود.

در بیشتر زمینه‌های ریاضی، اصطلاحات تبدیل و نگاشت معمولاً با تابع هم معنی پنداشته می‌شوند. در هر حال ممکن است که در بعضی زمینه‌های خصوصیات دیگری داشته باشند. برای مثال در هندسه، یک نگاشت گاهی اوقات یک تابع پیوسته تعریف می‌شود.

تعاریف ریاضی یک تابع
یک تابع f یک رابطه دوتایی است، به طوری که برای هر x یک و فقط یک y وجود داشته باشد تا x را به y رابطه دهد. مقدار تعریف شده و منحصر به فرد y با عبارت (f(x نشان داده می‌شود.

به دلیل اینکه دو تعریف برای رابطه دوتایی استفاده می‌شود، ما هم از دوتعریف برای تابع استفاده می‌کنیم.

تعریف اول
ساده تعریف رابطه دوتایی عبارتست از: «یک رابطه دوتایی یک زوج مرتب می‌باشد». در این تعریف اگر رابطه دوتایی دلالت بر «کوچکتر از» داشته باشد آن گاه شامل زوج مرتب‌هایی مانند (۲, ۵) است، چون ۲ از ۵ کوچکتر است.

یک تابع مجموعه‌ای از زوج مرتب‌ها است به طوری که اگر (a,b) و (a,c) عضوی از این مجموعه باشند آن گاه b با c برابر باشد. در این صورن تابع مجذور شامل زوج (۳, ۹) است. رابطه جذر یک تابع نمی‌باشد زیرا این رابطه شامل زوج‌های (۹, ۳) و (۹, -۳) است و در این صورت ۳ با -۳ برابر نیست.

دامنه تابع مجموعه مقادیر x یعنی مختص‌های اول زوج‌های رابطه مورد نظر است. اگر x در دامنه تابع نباشد آن گاه (f(x هم تعریف نشده‌است.

برد تابع مجموعه مقادیر y یعنی مختص‌های دوم زوج‌های رابطه مورد نظر است.

تعریف دوم
بعضی از نویسندگان نیاز به تعریفی دارند که فقط از زوج‌های مرتب استفاده نکند بلکه از دامنه و برد در تعریف استفاده شود. این گونه نویسندگان به جای تعریف زوج مرتب از سه‌تایی مرتب (X,Y,G) استفاده می‌کنند، که در آن X و Y مجموعه هستند (که به آنها دامنه و برد رابطه می‌گوییم) و G هم زیرمجموعه‌ای از حاصل‌ضرب دکارتی X و Y است (که به آن گراف رابطه می‌گویند). در این صورت تابع رابطه دوتایی است که در آن مقادیر X فقط یک بار در اولین مختص مقادیر G اتفاق می‌افتد. در این تعریف تابع دارای برد منحصر به فرد است؛ این خاصیت در تعریف نخست وجود نداشت.

شکل تعریف تابع بستگی به مبحث مورد نظر دارد، برای مثال تعریف یک تابع پوشا بدون مشخص کردن برد آن امکان‌ناپذیر است.

پیشینه تابع
«تابع»، به عنوان تعریفی در ریاضیات، توسط گاتفرید لایبنیز در سال ۱۶۹۴، با هدف توصیف یک کمیت در رابطه با یک منحنی به وجود آمد، مانند شیب یک نمودار در یک نقطه خاص. امروزه به توابعی که توسط لایبنیز تعریف شدند، توابع مشتق‌پذیر می‌گوییم، اغلب افراد این توابع در هنگام آموختن ریاضی با این گونه توابع برمی خورند. در این گونه توابع افراد می‌توانند در مورد حد و مشتق صحبت کنند. چنین توابعی پایه حسابان را می‌سازند.

واژه تابع بعدها توسط لئونارد اویلر در قرن هجدهم، برای توصیف یک عبارت یا فرمول شامل متغیرهای گوناگون مورد استفاده قرار گرفت، مانند f(x) = sin(x) + x3.

در طی قرن نوزدهم، ریاضی‌دانان شروع به فرموله کردن تمام شاخه‌های ریاضی کردند. ویرسترس بیشتر خواهان به وجود آمدن حسابان در علم حساب بود تا در هندسه، یعنی بیشتر طرفدار تعریف اویلر بود.

در ابتدا، ایده تابع ترجیحاً محدود شد. برای ژوزف فوریه مدعی بود که تمام توابع از سری فوریه پیروی می‌کنند در حالی که امروزه هیچ ریاضی‌دانی این مطلب را قبول ندارد. با گسترش تعریف توابع، ریاضی‌دانان توانستند به مطالعه «عجایب» در ریاضی بپردازند از جمله این که یک تابع پیوسته در هیچ مکان گسستنی نیست. این توابع در ابتدا بیان نظریه‌هایی از روی کنجکاوی فرض می‌شد و آنها از این توابع برای خود یک «غول» ساخته بودند و این امر تا قرن بیستم ادامه داشت.

تا انتهای قرن نوزدهم ریاضی‌دانان سعی کردند که مباحث ریاضی را با استفاده از نظریه مجموعه فرموله کنند و آنها در هر موضوع ریاضی به دنبال تعریفی بودند که از مجموعه استفاده کند. دیریکله و لوباچوسکی هر یک به طور مستقل و تصادفاً هم زمان تعریف «رسمی» از تابع دادند.

در این تعریف، یک تابع حالت خاصی از یک رابطه است که در آن برای هر مقدار اولیه یک مقدار ثانویه منحصر به فرد وجود دارد.

تعریف تابع در علم رایانه، به عنوان حالت خاصی از یک رابطه، به طور گسترده‌تر در منطق و علم تئوری رایانه مطالعه می‌شود.