معمای المپیادی: پهلوان و میل های زورخانه

پاسخ:  ۵
در  هر  چهار  ضلعی  محدب  مجموع  طول  قطرها  از  مجموع  طول  دو  ضلع  روبرو  بيشتر  است.
با  نوشتن  نامساوی  مثلث  برای  مثلثهای  ABI  و  CDI  مشاهده  می کنيم  که:  AD  +  BC  >  AB  +  CD

ادعا  می کنيم  اگر  مجموع  فواصل  ۹  زوج  نقطه  بيشترين  مقدار  شود،  بايد  هر  دو  مسيری  بين  نقاط  ابتدايی  و  انتهايی  همديگر  را  قطع  کنند.  زيرا  اگر  ميل  نقطه  A  به  B  و  ميل  نقطه  C  به  D  برود  و  AB  و  CD  برخورد  نداشته  باشند،  طبق  لم  بالا  با  بردن  ميل  نقطه  A  به  D  و  ميل  نقطه  C  به  B  مسير  بيشتری  طی  می شود.  حال  به  ميل  نقطه  ب  در  صورت  سوال  نگاه  کنيد.  اين  ميل  تنها  به  نقطه ای  ۷  می تواند  منتقل  شود  تا  با  تمام  مسيرها  برخورد  داشته  باشد.  (اگر  به  اين  نقطه  نرود  با  مسيری  که  به  نقطه  ۷  می رسد  برخورد  ندارد.)  پس  نقطه  ب  به  نقطه  ۷  می رود.  به  همين  شکل  شمال  غربی  ترين  ميل  نيز  بايد  به  نقطه  ۳  برود.  به  همين  طريق  می توان  بررسی  کرد  که  ميل های  نقاط  ج،  بالا،  پايين  و  سمت  راست  الف  نيز  بايد  به  ترتيب  به  نقاط  ۶  ،۲  ،۴  و  ۸  بروند  تا  با  تمام  خطوط  ديگر  برخورد  کند  اما  ميل های  روی  قطر  مربع  باقی  می   مانند.  اين  ميل   ها  به  هر  ترتيبی  به  نقط  ۵  ،۱  و  ۹  منتقل  شوند  مجموع  جابه  جايی  ثابت  می ماند.  بنابراين  برای  جای گذاری  ميل  نقطه  الف  سه  حالت  وجود  دارد  و  به  طور  يکتا  مشخص  نمی شود.