اصل شمول و عدم شمول
عددی که جبری نباشد، عدد متعالی (Transcendental number) یا ترافرازنده یا غیرجبری نامیده می‌شود. نمونه‌های برجسته‌ای از اعداد ترافرازنده π و e می‌باشند. نمونه‌های کمی از اعداد ترافرازنده شناخته شده‌اند چرا که اثبات ترافرازنده بودن یک عدد دشوار است. با این حال شمار آنها کم نیست و تقریبا همهٔ اعداد مختلط و حقیقی ترافرازندده شمرده می‌شوند.
نخستین اثبات وجود اعداد ترافرازنده (متعالی) را جوزف لیوویل، ریاضی دان فرانسوی، در سال ۱۸۴۴ داده است.
پیشینه استفاده از ترافرازنده (transcendental) را به لایبنیتز نسبت می دهند که در سال ۱۶۸۲ در یک مقاله نشان داد که Sinx یک تابع جبری x نمی باشد. جوزف لیوویل نیز اولین کسی بود که وجود چنین اعدادی را اثبات نمود (۱۸۴۴) و در سال ۱۸۵۱ اولین مثال دهدهی را با عنوان ثابت لیوویل ارائه نمود:
برخی از اعدادی که متعالی بودن آنها ثابت شده اند:
ea در صورتی که a عددی جبری و غیر صفر باشد
π (عدد پی)
eπ
e−π/۲=i i
ab در صورتی که a جبری باشد (به غیر از ۰ و ۱) و b یک عدد جبری اصم باشد: ۲√۲
π (عدد پی)
eπ
e−π/۲=i i
ab در صورتی که a جبری باشد (به غیر از ۰ و ۱) و b یک عدد جبری اصم باشد: ۲√۲
