معمای المپیادی همه لامپ های روشن
تعداد ۱۰۲۴ لامپ خاموش با شماره های ۱ تا ۱۰۲۴ در یک ردیف قرار دارند. کیان در ۱۰ مرحله، کلید تعدادی از لامپ ها را می زند که منجر به تغییر وضعیت آن لامپ ها می شود (از خاموش به روشن و برعکس) اگر کیان در مرحله iام کلید همه لامپ هایی را که باقی مانده ی شماره آن ها بر ۲iصفر نیست بزند، در پایان چند لامپ روشن وجود خواهد داشت؟
الف) ۳۴۱ ب) ۶۸۳ ج) ۶۸۲ د) ۳۴۲ هـ) ۱۰۲۳
پاسخ:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
۳۴۱
کافی است اعداد را به صورت دودویی در نظر بگیریم و روی اولین جایی که رقم ۱ ظاهر شده است، حالت بندی کنیم. در جدول بالا تعداد خوردن کلید برای هر دسته از لامپ ها و تعداد لامپ های موجود در هر دسته نوشته شده است. واضح است که در هر دسته، تعداد زده شدن کلید به تعداد رقم های بعد از اولین رقم ۱ می باشد. در نمایش اعداد x به منظور ۱ یا ۰ می باشد و لامپ های دسته هایی در پایان روشن خواهد بود که فرد بار کلید آنها خورده باشد.
پس پاسخ ما برابر است با:
۱+۲۲+۲۴+۲۶+۲۸=۳۴۱
